Michel Fayol s’intéresse à la façon dont les enfants passent de l’intuition des quantités et des grandeurs aux traitements des symboles qui servent à écrire les nombres et à représenter les opérations.

• Les enfants, s’ils appartiennent à une culture disposant de systèmes verbaux de dénomination des quantités et des grandeurs, suivent une trajectoire d’acquisition des nombres identique :

• Les apprentissages préscolaires du traitement non symbolique des quantités et des grandeurs : les capacités initiales des petits enfants reposent sur des traitements analogiques (largement perceptifs) préverbaux et approximatifs.

• L’acquisition des symboles et du traitement précis de ceux-ci : les enfants doivent apprendre à associer avec précision les symboles aux nombres auxquelles ils correspondent.

• La combinaison des signes numériques et des signes associés aux opérations : les enfants doivent apprendre que la manipulation réglée des symboles au cours des opérations équivaut à l’application concrète de transformations.

• L’existence d’une trajectoire générale commune ne doit toutefois pas masquer l’existence de fortes différences inter-individuelles, principalement dépendantes des capacités générales des enfants (langage, attention, mémoire, etc.). L’environnement social et langagier dans lequel évoluent les enfants joue également un rôle prépondérant dans leur développement ; se manifestent ainsi très précocement des inégalités socio-économiques, que des interventions ciblées sont susceptibles de réduire.

• Toutes les cultures n’ont pas recours à l’usage de nombres et ne disposent pas de système numérique ; d’autres utilisent des noms de nombres de manière imprécise (par ex., en xirianá, yaluku pèk signifie une quantité comprise entre deux et cinq).

Jean-François Chesné s’intéresse à l’apprentissage des nombres décimaux.

• Les nombres décimaux peuvent se construire de différentes façons :

• À partir de mesures dans le système métrique, par des changements d’unité induisant un changement de nature des nombres (ex. : 6 cm et 5 mm devient 6,5 cm).

• Par la mesure de grandeurs et le passage à des fractions décimales (en divisant une unité par 10, 100, etc.).

• Par la résolution de problèmes qui n’ont pas de solution sans les nombres décimaux (ex. : réaliser une canalisation de 36m avec 5 tuyaux de même longueur).

• La conceptualisation des nombres décimaux implique des ruptures avec les nombres entiers. Contrairement aux nombres entiers, il y a une infinité de nombres décimaux entre deux nombres (pas de successeur comme 1 avec 2) ; un nombre décimal qui s’écrit avec plus de chiffres qu’un autre n’est pas toujours plus grand ; multiplier par un nombre décimal ne donne pas toujours un nombre plus grand et diviser par un nombre décimal ne donne pas toujours un nombre plus petit. Ces différences constituent des obstacles pour les élèves dans leur apprentissage.

• Plusieurs éléments doivent être pris en compte pour favoriser la conceptualisation des nombres décimaux :

• Éviter un passage trop rapide à l’oral vers une désignation experte des nombres décimaux (ex. : « deux virgule quatre »).

• Accorder une attention particulière aux liens entre écriture décimale et écriture fractionnaire (ex. : certains élèves assimilent 1/4 à 1,4 ou 0,4).

• Recourir au calcul, et en particulier au calcul mental, permet de renforcer l’articulation entre différentes désignations orales et écrites.

• Recourir à la résolution de problèmes permet de mobiliser les nombres décimaux dans une grande variété de situations.