La maîtrise du système de numération écrit passe par le langage oral. Ceci est particulièrement vrai pour les premiers nombres, mais aussi au moment de l’introduction des fractions puis de celle de l’écriture à virgule : avant de voir comment on écrit une fraction ou d’utiliser la virgule, les élèves doivent savoir exprimer à l’oral les nouveaux nombres qu’ils découvrent (un quart, 8 dixièmes, etc.).

Trop souvent l’enseignement de notions difficiles (par exemple les fractions) est reporté à la fin de l’année scolaire. Or, enseigner les nombres entiers (comme 4 ou 11) ou décimaux (avec virgule) nécessite un travail important, organisé progressivement dans la durée, sur la compréhension du sens de ces notions. Cela éviterait sans doute la confusion entre 1/4 et 1,4 faite par la moitié des élèves à leur arrivée au collège.

L’apprentissage des nombres et des calculs ne peut pas se passer de l’apprentissage « par cœur » (d’un travail de mémorisation) de  « faits numériques ». Aussi, bien qu’il existe aujourd’hui des outils de calcul performants (calculatrices, ordinateurs, etc.), les enseignants doivent consacrer une partie du temps passé en classe à l’apprentissage des tables d’addition et de multiplication. Ces tables, mémorisées par les élèves, permettent d’alléger la mémoire de travail, pour réaliser des calculs complexes, écrits ou mentaux. Elles seront complétées progressivement par la connaissance de relations multiplicatives simples entre les nombres (30 est le double de 15) ou par l’association de deux écritures différentes d’un même nombre (1/2 =0,5).

Le calcul mental doit être privilégié par rapport au calcul posé (opération effectuée par écrit), dans l’ordre des apprentissages et dans le temps qui leur est respectivement consacré en classe. Les activités cognitives impliquées dans le calcul mental et dans le calcul posé ne sont pas de même nature : par exemple, une façon d’effectuer mentalement 32 x 25 amène à décomposer 32 en 8 fois 4, et à utiliser le fait que 4 fois 25 =100. L’avantage est que, en cherchant à trouver le bon résultat, l’élève travaille sur les nombres en jeu, ce qui n’est pas vrai dans le cas d’une multiplication posée.

La verbalisation par les élèves de leurs façons de faire, qu’elles soient correctes ou non, permet à l’enseignant et aux autres élèves, d’identifier les différentes procédures utilisées. Dans le calcul précédent, un élève peut aussi décomposer 32 en 30 +2 et faire 30 x 25 + 2 x 25. Cette procédure ne mobilise ni la même décomposition de 32 ni les mêmes propriétés mathématiques que la première. Les explications orales des élèves, qui peuvent traduire des erreurs de calcul, constituent dans tous les cas des repères importants pour l’enseignant.

Les enseignants ne doivent pas concevoir et restreindre l’enseignement du calcul comme un simple apprentissage de recettes techniques. L’enseignement des procédures utilisées pour effectuer des opérations par écrit (comme les retenues dans une addition) doit fournir des occasions pour les élèves de développer leur compréhension des nombres.

Les enseignants doivent être attentifs à fournir aux parents des informations concrètes et argumentées pour les aider à soutenir leurs enfants dans les apprentissages des nombres et des opérations. Ils peuvent ainsi suggérer aux parents des jeux pour leurs enfants qui permettraient de stimuler, développer et renforcer un certain nombre de connaissances et de procédures utiles pour les apprentissages des nombres.

Ces ressources doivent pouvoir être adaptées par chaque enseignant au contexte de sa classe et aux spécificités de ses élèves, et comporter en particulier des textes de savoir (« ce qu’il faut retenir ») adaptés à la compréhension des élèves, et des outils pour l’évaluation.

Enseigner les nombres et les opérations ne requiert pas seulement une bonne connaissance de ces concepts et procédures mathématiques. Comprendre comment l’enfant apprend est central. Au-delà de la nécessaire maîtrise des contenus théoriques, les obstacles potentiels identifiés dans l’acquisition du système de numération seront étudiés de façon à ce que les enseignants puissent identifier différents cheminements que peuvent avoir les élèves (par exemple pour comparer deux nombres décimaux).

Des équipes pluridisciplinaires (chercheurs, formateurs et enseignants) doivent être mises en place pour la formation afin d’intégrer les différentes composantes du métier d’enseignant. Par ailleurs, l’émergence de collectifs de travail réunissant chercheurs, formateurs et enseignants doit être encouragée.

Il est important de justifier les fondements rationnels et empiriques des programmes pour qu’ils aient du sens et une légitimité pour les différents acteurs. Les arguments peuvent être d’ordre didactique, peuvent concerner des applications de la vie quotidienne, la suite logique des apprentissages, l’évolution des outils informatiques, les résultats de la recherche, etc.

L’évaluation permet de faire évoluer les programmes en prenant en compte :

(1) les acquis des élèves mesurés lors des enquêtes nationales et internationales ;

(2) la difficulté et les errements de leur mise en œuvre par les enseignants ;

(3) les résultats des recherches en didactique des mathématiques et en cognition numérique.

L’évaluation des programmes doit non seulement interroger le bien-fondé de l’enseignement de certaines notions et procédures, mais aussi l’enchaînement et le rythme des apprentissages, ainsi que leur adéquation au niveau de développement des élèves.